$|G| = 2p^2$ のとき, Sylow の定理により $G$ の Sylow $p$-部分群 $N$ が存在し, かつただ一つである. 従ってこれは正規部分群である. また Sylow $2$-部分群 $H$ も存在し, 位数の関係から $G$ は $N$ の $H$ による半直積である.
$N \cong C_{p^2}$ のとき, 半直積 $N \rtimes H$ は自明か非自明かによって $C_{p^2} \times C_2 \cong C_{2p^2}$ か $D_{2p^2}$ になる.
$N \cong C_p \times C_p$ のとき, 半直積 $N \rtimes H$ は自明ならば $C_p \times C_p \times C_2 \cong C_p \times C_{2p}$ になる. 非自明な場合, $\mathrm{Aut}(C_p \times C_p) = GL(2, p)$ の位数 $2$ の元は共役を除けば $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ しかない. それによって $$G \cong C_p \times (C_p \rtimes C_2) \cong C_p \times D_{2p}$$ か $$G = \langle x, y, z | xy = yx, z^{-1}xz = x^{-1}, z^{-1}yz = y^{-1} \rangle % = \mathrm{Dih}(C_p \times C_p)$$ のいずれかとなる.